Comércio de pares: uma abordagem de cópula.
Rong Qi Liew Yuan Wu.
Pairs trading é uma técnica que é amplamente praticada no setor financeiro. Sua relevância tem sido constantemente testada com amostras atualizadas e sua rentabilidade é reconhecida entre profissionais e acadêmicos. No entanto, em troca de pares, a noção de correlação é central, e o uso da correlação ou cointegração como medida de dependência é, em última instância, seu calcanhar de Aquiles. Para superar esta limitação, este artigo emprega o uso de copulas, que é muito mais realista e robusta, para desenvolver regras comerciais para troca de pares. As copulas são extensões úteis e generalizações de abordagens para modelar distribuições conjuntas e dependência entre ativos financeiros. Uma estratégia de negociação que envolve o uso de copulas foi comparada com duas estratégias convencionais mais comumente aplicadas. Os resultados empíricos sugerem que a estratégia proposta é uma alternativa analítica potencialmente poderosa às técnicas tradicionais de negociação de pares.
INTRODUÇÃO.
Pairs trading é uma estratégia de investimento especulativa bem reconhecida nos mercados financeiros que é popularizada na década de 1980. Hoje, a negociação de pares é comummente aplicada por hedge funds e investidores institucionais como uma estratégia de investimento de longo / curto prazo. (Vidyamurthy, 2004) Pesquisadores recentes (Gatev et al, 2006; Do e Faff, 2010) ampliaram a análise inicial do comércio de pares para amostras mais atualizadas e documentaram lucros econômicos e estatisticamente significativos usando a regra de negociação de pares simples.
Geralmente percebido como uma forma de análise técnica, o objetivo da troca de pares é identificar as posições relativas sobrevalorizadas e subvalorizadas entre dois estoques intimamente relacionados, com uma relação de longo prazo. Essa relativa mispricing ocorre se o spread entre as duas ações se desviar do seu equilíbrio e os retornos em excesso serão gerados se o par for reverso médio (isto é, quaisquer desvios são temporários e retornará ao seu equilíbrio após um período de ajuste) . Nessa situação, o estatal curtirá simultaneamente o estoque relativamente sobrevalorizado e, por muito tempo, o relativamente subvalorizado. A formação de pares resulta de uma análise de cointegração ou critérios de correlação máxima dos preços históricos. Posteriormente, a estratégia de negociação de pares é implementada para identificar os sinais comerciais.
No entanto, uma lacuna significativa na técnica é a assunção fundamental da associação linear e seu uso do coeficiente de correlação ou cointegração como uma medida de dependência. Esses pressupostos básicos podem ser convenientes e úteis na aplicação, mas podem causar que os simples sinais de negociação de pares sejam imprecisos. Se os dados forem normalmente distribuídos, então a correlação linear descreve completamente a dependência. Mas é amplamente reconhecido que os dados financeiros raramente são normalmente distribuídos na realidade, portanto, a correlação não pode descrever completamente a dependência. De fato, a negatividade negativa e / ou o excesso de curtose são freqüentemente observados na maioria dos ativos financeiros (Kat, 2003; Crook e Moreira, 2011), resultando em dependência da parte superior e inferior da mesma extensão. Como tal, a correlação e cointegração não são suficientes para descrever a associação entre ativos financeiros e prever seus movimentos futuros.
O objetivo deste artigo é vincular o uso de copula com troca de pares para desenvolver uma estratégia de negociação. Como as copulas separam as distribuições marginais das estruturas de dependência, a copula apropriada para uma aplicação específica é aquela que melhor captura os recursos de dependência dos dados. (Trivedi e Zimmer, 2007) Assim, o uso de copula é capaz de capturar o co-movimento entre os estoques com precisão para identificar sinais comerciais, cuja análise de correlação linear padrão não é suficientemente robusta para realizar (Ferreira, 2008). Portanto, é uma hipótese de que uma estratégia comercial envolvendo o uso de copula trará mais oportunidades comerciais e potencialmente mais lucro do que as estratégias convencionais. A estratégia proposta será explorada e comparada com estratégias convencionais.
O resto do artigo será organizado como segue. A próxima seção fornecerá uma breve visão geral da negociação de pares. A seção "Estratégias de negociação" descreverá as estratégias de negociação estudadas neste artigo, e os resultados empíricos serão demonstrados na seção "Resultados empíricos". A seção "Conclusão" conclui o artigo e fornece instruções para futuros estudos.
FUNDAMENTOS DAS ESTRATÉGIAS DE NEGOCIAÇÃO DOS PAIRS.
A idéia geral de investir no mercado do ponto de vista da avaliação é vender valores mobiliários sobrevalorizados e comprar os subvalorizados. Como os valores reais dos títulos em termos absolutos raramente são conhecidos, as técnicas de negociação de pares tentam resolver isso observando pares de ações com características semelhantes. Seu objetivo é identificar as posições relativas sempre que um mercado ineficaz resulte no mispricing de valores mobiliários. Este mispricing mútuo entre dois títulos é teoricamente capturado pela noção de propagação (Vidyamurthy, 2004).
Atualmente, existem várias técnicas de negociação de pares diferentes aplicadas no setor financeiro moderno. As duas técnicas mais comumente estabelecidas são a estratégia à distância (Gatev et al, 2006; Perlin, 2009; Do e Faff, 2010) e estratégia de cointegração (Vidyamurthy, 2004; Lin et al, 2006; Galenko et al, 2012).
Geralmente, os pares são selecionados com base em critérios de análise de cointegração ou distância mínima (equivalência, correlação máxima). Quando um par adequado é identificado, a técnica tradicional envolver-se-á em uma compra simultânea de estoque relativamente subavaliado e venda de ações relativamente sobrevalorizadas na tentativa de criar um sistema comercial neutro. Isso é para aproveitar a divergência de preços em termos de spread que se espera reverter, conhecido como o comportamento de reversão média (Bock e Mestel, 2008). Assim, a negociação de pares também é conhecida como uma forma de investimento de capital longo / curto, uma vez que a estratégia de mercado neutro mantém duas ações de diferentes posições com a mesma exposição ao risco de mercado em todos os momentos.
É importante notar que todas as técnicas convencionais são essencialmente encontradas na hipótese de associação linear e seu uso de coeficiente de correlação ou cointegração como medida de dependência. Além disso, o uso da correlação e cointegração no comércio de pares assume uma distribuição simétrica de propagação em torno do valor médio de 0. Portanto, a negociação de pares tem suas limitações, e isso pode resultar em problemas em que a abordagem de negociação de pares tradicionais produz sinais de negociação incorretos ou não conseguiu identificar oportunidades de lucro (Bock e Mestel, 2008).
Por outro lado, as copulas fornecem uma estrutura poderosa para modelar a estrutura de dependência sem pressupostos rígidos (Ferreira, 2008). Pode potencialmente resolver as preocupações mencionadas anteriormente, pois separa a estimativa do comportamento marginal individual e da estrutura de dependência em dois procedimentos diferentes. Esta separação do procedimento é extremamente valiosa e útil em muitos aspectos diferentes. Do ponto de vista econômico, dá ao analista a oportunidade de usar diferentes distribuições marginais para explicar a diversidade de riscos financeiros (ou ativos) (Ane e Kharoubi, 2003). Portanto, a copula pode ser aplicada independentemente da forma de distribuições marginais, proporcionando maior flexibilidade para aplicação prática. A partir de uma posição de modelagem, quanto menor a dimensionalidade de um modelo ou a cardinalidade de seus parâmetros, maior a confiabilidade das estimativas. Portanto, aplicar a distribuição marginal melhor ajustada antes de estimar sua distribuição conjunta garante que todas as informações relativas à estrutura de dependência entre variáveis aleatórias sejam capturadas com precisão sem pressupostos rígidos.
Ao contrário das abordagens convencionais, empregar uma abordagem baseada em cópula resulta em um conjunto de informações muito mais rico, como a forma e a natureza da dependência entre pares de ações (Ferreira, 2008). Essa vantagem é resultado devido à variedade de escolhas de cópula que medem as dependências de cauda superior e inferior de diferentes extensões, em um ambiente que considera relacionamentos tanto lineares como não-lineares. Por exemplo, a copula de Gumbel produz mais correlação nos dois extremos da distribuição correlacionada, mas tem sua maior correlação nas caudas máximas, enquanto que Clayton copula produz uma correlação apertada na parte inferior de cada variável. Além disso, as copulas possuem uma propriedade atrativa de serem invariantes sob transformações estritamente monótonas de variáveis aleatórias. Em outras palavras, a mesma copula será obtida independentemente de o analista ou o pesquisador usar séries de preços ou séries de preços de registro (Hu, 2003).
Como um todo, a copula é única, pois permite que a estrutura de dependência de modelagem seja dividida em dois procedimentos separados. Primeiro, a escolha da distribuição marginal de melhor ajuste é fornecida para descrever as variáveis. Posteriormente, uma copula adequada é aplicada para estabelecer a estrutura de dependência. Esta abordagem em duas etapas fornece mais alternativas na especificação do modelo, e uma função de dependência explícita obtida fornecerá uma descrição mais delicada da dependência (Hu, 2003). Essas funcionalidades de copula garantem alta precisão e confiabilidade de estimativas, ambas essenciais para análise e aplicação financeira. Por isso, o conceito de copula será explorado como uma alternativa neste artigo onde o ambiente não-linear pode ser considerado. Para mais detalhes sobre copula, consulte o Apêndice A.
ESTRATÉGIAS DE NEGOCIAÇÃO.
Nesta seção, serão elaboradas as regras comerciais customizadas para três abordagens, nomeadamente copula, distância e cointegração. Nas três abordagens, existem dois períodos de tempo diferentes, o período de formação eo período de negociação (ou backtesting). Os dados históricos durante o período de formação são utilizados para observar o comportamento dos preços e estimar a distribuição e os parâmetros relevantes necessários para cada abordagem. Usando as distribuições estimadas e os parâmetros do período de formação, as estratégias são implementadas durante o período de negociação para testar a rentabilidade. Não há diretrizes fixas para o comprimento de cada período de tempo, portanto, este artigo usará uma fase de 2 anos e uma subsequente de 1 ano como período de formação e comercialização, respectivamente.
Em última análise, as três abordagens visam identificar as posições relativas dos pares de ações e simultaneamente as ações subvalorizadas e reduzir a sobrevalorização, na tentativa de estabelecer um sistema comercial comercial neutro. O uso do mesmo período de formação, período de negociação e pares de ações são mantidos ao longo das três abordagens neste artigo devido à intenção de fazer uma comparação entre os três.
Abordagem de Copula.
O objetivo da técnica de troca de pares usando abordagem de cópula é aplicar a copula ideal entre dois retornos de estoque e identificar as posições relativas entre pares de ações. Em geral, a aplicação da estratégia para abordagem de cópula exigirá as distribuições marginais, a função de cópula relevante e as funções de distribuição de probabilidade condicional, que podem ser funções de copula.
Usando dados dos estoques durante o período de formação, as funções de distribuição marginal e os respectivos parâmetros são estimados com base no valor de seus retornos de log cumulativos. Isso pode ser feito usando qualquer software de análise estatística padrão que avalie a melhor distribuição marginal. Depois de aplicar as distribuições marginais e os parâmetros estimados relevantes para cada retorno de estoque, os valores da função de distribuição cumulativa obtidos de cada estoque, u e v, fornecem a informação para uma função de copula relevante a ser selecionada.
Como orientação geral, as ações são identificadas como sendo relativamente subvalorizadas se a probabilidade condicional for inferior a 0,5 e relativamente sobrevalorizada se a probabilidade condicional for maior que 0,5. Além disso, os valores das probabilidades condicionais também são uma indicação de sua certeza ou confiança em relação à posição dos estoques (Ferreira, 2008). Portanto, a execução do comércio deve ser feita quando uma das probabilidades condicionais for próxima de 1. Portanto, o uso de funções de probabilidade condicional é essencial para a estratégia. Para obter mais informações sobre as fórmulas de funções de probabilidade condicional, consulte o Apêndice B (Tabela B1).
Para fins de demonstração, este artigo seleciona o limite superior de 0,95 e o limite inferior de 0,05 para o limite de probabilidades condicionais à medida que o comércio se desencadeia nesta abordagem. Uma posição é aberta durante o período de negociação quando um dos valores de probabilidade condicional está acima do limite superior, enquanto o outro está abaixo do limite inferior. Posteriormente, a posição de saída é assumida uma vez que as posições revertem (ou seja, quando as probabilidades condicionais cruzam o limite de 0,5).
Abordagem à distância.
Neste artigo, implementamos a mesma estrutura de estratégia comercial descrita em Gatev et al (2006) para a abordagem à distância. Ao encontrar duas ações que se movem juntas, as posições longas / curtas são tomadas quando as ações divergem anormalmente. Esta divergência é determinada pela diferença entre a diferença de preços padronizada dos dois títulos, muitas vezes conhecida como spread. Ele atua como um sinal para as posições aberta e fechada das ações pairwise. Durante o período de negociação, a posição é aberta quando o spread se alarga em mais de dois desvios padrão históricos, conforme estimado durante o período de formação. Posteriormente, as posições são fechadas quando a propagação das ações reverte. Se a reversão não ocorrer antes do final do período de negociação, os lucros ou perdas são calculados no final do último dia de negociação do período de negociação.
Cointegration approach.
Semelhante à estratégia de negociação anterior, a principal preocupação desta abordagem é o movimento da propagação. No entanto, em vez de enfatizar a distância entre os preços padronizados de pares de ações, o spread considerado é baseado na noção de correção de erros. A idéia de correção de erro baseia-se no equilíbrio de longo prazo em um sistema cointegrado; ou seja, a média a longo prazo da combinação linear de duas séries temporais (Vidyamurthy, 2004). Se houver um desvio da média de longo prazo, espera-se que uma ou ambas as séries temporais se ajustem para que o equilíbrio de longo prazo seja restaurado.
Usando a cointegração como base teórica, o quadro geral de abordagem de co-integração em troca de pares consiste em duas partes. Primeiro é gerar a propagação com base no termo de erro de cointegração real de relacionamento de longo prazo. Isso é estimado usando análise de regressão com base em dados da série de preços de log do período de formação. Usando o desvio padrão de propagação durante o período de formação, um limite de dois desvios padrão é configurado para a estratégia de negociação. Uma vez que o spread se desvia do seu equilíbrio de longo prazo e excede o limiar durante o período de negociação, são tomadas posições longas / curtas. Posteriormente, as posições são fechadas após a propagação converger para o seu valor de equilíbrio de longo prazo de 0. Para mais detalhes sobre o quadro estratégico realizado neste artigo, consulte Vidyamurthy (2004).
RESULTADOS EMPÍRICOS.
Esta seção fornecerá detalhes da implementação real, demonstrando as três estratégias usando os pares que foram aplicados. Por razões de espaço, apenas um exemplo de Brookdale Senior Living Inc. e Emeritus Corporation (BKD-ESC) será ilustrado em detalhes. O par de ações é verificado como um altamente correlacionado e cointegrado. Também é um dos pares de ações listados em pares no setor de saúde, especificamente em instalações de cuidados prolongados.
Este artigo investiga o período de tempo de 1 de dezembro de 2009 a 30 de novembro de 2012. Os dados dos primeiros 24 meses são usados para encontrar os parâmetros relevantes, e as informações obtidas são aplicadas no período de negociação, que é os 12 meses subsequentes. As estratégias de negociação de diferentes abordagens são estudadas e demonstradas, sem o procedimento de seleção de pares. Portanto, apenas os pares de ações que são amplamente discutidos on-line ou especulados em várias literaturas foram considerados. Cada par de ações tem o mesmo código de Critério de Informação de Schwarz (SIC) para garantir a neutralidade industrial, ou pelo menos reduzir o risco industrial também.
Abordagem à distância.
Uma figura detalhada para a estratégia de distância convencional é apresentada abaixo para ilustrar os preços padronizados e a disseminação dos valores.
Estratégia de comércio à distância.
Cointegration approach.
Estratégia de negociação de Cointegration.
A Figura 2 (a) mostra um gráfico da série de preços de registro do par BKD-ESC durante o período de formação e a Figura 2 (b) exibe a propagação durante o mesmo período de tempo. O mesmo se aplica à Figura 2 (c) e à Figura 2 (d), respectivamente, mas os valores traçados são dados do período de negociação.
Note-se que a disseminação da preocupação nesta abordagem é obtida a partir do termo de erro de cointegração real da relação de longo prazo entre as duas séries de preços de registro, estimada usando regressão. Assim, a própria propagação é uma combinação linear das duas séries de preços de registro. À medida que o par de estoque é verificado para ser cointegrado, isso implica que a propagação deve ser uma série temporária estacionária que é distribuída aleatoriamente sobre o valor médio de longo prazo de 0. No entanto, isso não está ilustrado nas Figuras 2 (b) e ( d). Na verdade, o comportamento de propagação dos dois períodos de tempo é distintamente diferente, com uma distribuição assimétrica. Assim, a associação linear e o uso da cointegração como medida de dependência nesta abordagem são insuficientes para capturar a associação entre os ativos financeiros. Isso resulta em uma inconsistência dos valores de spread obtidos durante os dois períodos de tempo. Note-se que a possibilidade de uma mudança estrutural não pode ser descartada, mas os limites da abordagem em si parecem mais razoáveis. As limitações desta estratégia de negociação convencional podem, por sua vez, resultar em uma perspectiva imprecisa da associação entre os ativos em questão, possivelmente causando a falta de oportunidades comerciais e, portanto, um menor lucro na estratégia de negociação.
Abordagem de Copula.
Conforme mencionado na seção "Abordagem de distância", essa abordagem exigirá primeiro as distribuições marginais de cada variável; neste caso, os retornos acumulados do registro de BKD e ESC a partir dos dados históricos. Usando o software de análise estatística padrão, as distribuições marginais ajustadas aos retornos cumulativos do registro de BKD e ESC são distribuições logísticas de erro e generalizadas, respectivamente. Usando as funções de distribuição e os parâmetros estimados, os valores de u e v são computados.
SIC, AIC e HQIC testam valores de copulas usando dados do período de formação.
Conforme mostrado na Tabela 1, a estrutura de dependência da copula de Gumbel se adapta melhor aos dados do período de formação, pois possui os valores de teste SIC, AIC e HQIC mais baixos entre os testados.
Parcelas de valores de u e v de dados de período de formação e copulas instaladas.
Note-se que as dependências de raças extremas de extensão diferente podem ser capturadas por copulas, conforme visto pelas diferentes opções fornecidas pelas copulas exibidas na Figura 3. Por outro lado, essas características cruciais não podem ser capturadas por correlação e cointegração, pois ambos os indicadores apenas medem a associação linear e assume que as observações seguem um padrão simétrico. Assim, copula será capaz de fazer estimativas e previsões mais próximas da realidade.
SIC, AIC e HQIC valores de teste de copulas usando dados do período de negociação.
Resultados das estratégias de negociação.
Coeficiente de correlação da série log-price durante o período de formação.
Coeficiente de correlação das séries de preços de registro durante o período de negociação.
Série τ de log-price de Kendall durante o período de formação.
Série τ de log-price da Kendall durante o período de negociação.
Spearman ρ de série de preços de registro durante o período de negociação.
Spearman ρ de série de preços de registro durante o período de negociação.
Painel A: estratégia de negociação com base em limiares designados na seção "Resultados empíricos"
Lucro (Capital: 10 000)
Número de transações.
Retornos do período de negociação.
Painel B: Estratégia de negociação no Painel A com período de espera de 1 dia.
Lucro (Capital: 10 000)
Número de transações.
Retornos do período de negociação.
Planos de valores de u e v de dados do período de negociação e copulas instaladas.
Resultados resumidos das estratégias de negociação com base em limiares designados na seção "Resultados empíricos"
Painel A: Estratégias de negociação executadas no BKD-ESC.
Painel B: Estratégias de negociação executadas no APA-DVN.
Painel C: Estratégias de negociação executadas em BOH-CYN.
Custos de transações.
Em aplicações do mundo real, é certo que os custos de transação devem ser levados em consideração. Por isso, este artigo abordará as questões relativas aos spreads de oferta e a perda de vendas baixas.
De acordo com Gatev et al (2006), o uso dos mesmos preços para o início da negociação e os retornos podem ser tendenciosos para o alto devido ao fato de que as transações executadas no estudo estão implicitamente comprando em cotas de oferta (perdedores) e vendendo em cotações de pergunta ( vencedores). Por isso, para abordar essa preocupação, este artigo fez o mesmo que Gatev et al (2006) para o exemplo do par de ações BKD-ESC e iniciou as posições no dia seguinte à divergência e liquida no dia seguinte à convergência. Os valores de lucros, número de transações e retornos são computados e ilustrados no Painel B da Tabela 3. No entanto, os autores entendem que não tem sentido levar a cabo tais precauções em alguns pares de ações. Para que a precaução seja efetiva para abordar a questão da propagação bid-ask, é essencial que a pesquisa seja estendida a todo um mercado. No entanto, isso está atualmente fora do escopo deste artigo, portanto, pode ser um dos aspectos que os autores estão considerando para futuros estudos.
Por outro lado, as preocupações com o custo da venda a descoberto são descartadas neste artigo, uma vez que foi verificado por Gatev et al (2006) que os lucros comerciais de pares são robustos para os custos de venda a descoberto. Assim, presume-se que o impacto dos custos de venda a descoberto é atenuado pelo uso de estoques líquidos que operam todos os dias ao longo de um período de 1 ano e, portanto, é considerado insigente.
CONCLUSÃO.
Pairs trading é uma técnica que é comumente aplicada no setor financeiro. Neste artigo, o conceito de copulas em troca de pares é explorado para superar as limitações das estratégias tradicionais de negociação de pares. O uso de copulas na construção de distribuições de juntas separa a estimativa das distribuições marginais individuais da estrutura de dependência. Isso traz uma flexibilidade muito maior na estrutura ao especificar distribuições conjuntas, ao mesmo tempo em que fornece informações mais ricas sobre a dependência entre ativos financeiros. Assim, as copulas trarão estimativas mais realistas e de melhor precisão.
Os resultados empíricos demonstram que a abordagem da cópula para o comércio de pares é superior ao convencional. Observa-se que o uso de copula em troca de pares oferece mais oportunidades de negociação na aplicação prática, e com maior confiança, já que não exige nenhum pressuposto rígido. O uso de correlação ou cointegração como medida de dependência também é desconsiderado, portanto, a estratégia proposta oferece uma alternativa analítica potencialmente poderosa às técnicas tradicionais de negociação de pares.
Apesar da superioridade geral dos resultados obtidos das copulas, este é apenas um estudo preliminar, e certamente é imperfeito. As copulas fornecem flexibilidade, e a estratégia baseada na copula é considerada relativamente fácil de implementar para uma abordagem tão sofisticada. No entanto, ainda é uma nova abordagem na área de comércio, afinal. Há muito mais descobertas e outras melhorias a serem feitas para superar as limitações do trabalho atual. Além disso, o uso de copulas também pode ser explorado na seleção de pares de ações. A seleção de pares é o primeiro e mais essencial passo para o comércio de pares, melhorando assim o processo de seleção convencional será um novo salto nesta área.
Apêndice A.
Copula e Teorema de Sklar.
Na literatura estatística, a idéia de uma cópula surgiu no início do século XIX no contexto de discussões sobre a não-normalidade em casos multivariados (Hu 2003). Atualmente, as copulas são conhecidas como ferramentas usadas na teoria da probabilidade e estatísticas para modelar a dependência entre variáveis aleatórias.
Sob esta construção, C é uma função de distribuição de duas variáveis aleatórias com valores unitários uniformes. Essa função é formalmente definida como uma copula. Em geral, as copulas são conhecidas como funções que combinam distribuições marginais individuais unidimensionais para formar uma função de distribuição multivariada que descreve a relação linear e não linear entre as variáveis. Ele garante que a dependência entre variáveis seja capturada com precisão e descrita em termos de uma função.
A palavra "copula" foi empregada pela primeira vez em um sentido estatístico por Sklar (1959), no teorema que agora tem seu nome. Sua idéia era separar uma função de distribuição conjunta em uma parte que descreve a estrutura de dependência (a copula) e a outra que descreve o comportamento marginal.
Se F (x) e G (y) forem contínuos, então C é único; Caso contrário, C é determinado de forma exclusiva em Ran (F) × Ran (G), onde Ran indica o intervalo. Por outro lado, se C é uma copula, e F (x) e G (y) são funções de distribuição, a função H (x, y) definida pela equação acima é uma função de distribuição conjunta com margens F (x) e G (y ). Certamente, a noção de copula pode ser estendida a dimensões mais elevadas: as copulas n-dimensionais são funções de distribuição conjunta de n variáveis aleatórias com marginal unitário uniforme. Prova formal pode ser encontrada em Nelsen (2006).
Em palavras, o teorema de Sklar traduz que cada copula é uma função de distribuição conjunta com margens que são uniformes no domínio da copula. Uma implicação essencial é que uma cópula pode ser construída a partir de qualquer função de distribuição conjunta com distribuições marginais contínuas. Esta é, em última instância, a ideia de Sklar do conceito de copula onde as distribuições marginais de melhor ajuste são estimadas antes de uma função de distribuição conjunta que descreve a estrutura de dependência (uma copula) é estimada e aplicada.
Apêndice B.
Fórmulas de probabilidade condicional de copulas comumente aplicadas.
Apêndice C.
GRÁFICOS DE STOCK PAIR APA-DVN.
Estratégia de comércio à distância.
Estratégia de negociação de Cointegration.
Probabilidades condicionais de estratégia comercial de copula.
Apêndice D.
GRÁFICOS DE STOCK PAIR BOH-CYN.
Estratégia de comércio à distância.
Estratégia de negociação de Cointegration.
Probabilidades condicionais de estratégia comercial de copula.
Referências.
Informações sobre direitos autorais.
Autores e afiliações.
Rong Qi Liew 1 Yuan Wu 1. Universidade Tecnológica de Nanyang (NTU) Singapura.
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Pairs Trading para o Mercado de Futuros de Mercadorias Usando o Método de Cointegração.
Revista Internacional de Comércio e Finanças, Vol. 1, edição 1, 2015, 25-38.
14 Páginas Publicado: 15 Jan 2017.
Cuneyt Ungever.
Istambul Commerce University, Estudantes.
Data escrita: 9 de janeiro de 2017.
Este artigo investiga estratégia de negociação de pares usando o método de cointegração entre os 10 mercados futuros agrícolas mais populares. Verifica-se que apenas em 2 pares mostra sinal comercial. A estratégia de negociação de pares é realizada em duas etapas que são o período de formação e o período de negociação com dados de futuros diários de 2004 a 2015. Após o período de formação foi construído, assume-se que o erro de cointegração continua a manter o período de negociação o mesmo que ele faz para o período de formação. A estratégia de negociação de pares é criada pela posição longa do algodão e pelo café de posição curta e também pela posição longa do algodão e pela posição curta da livecattle. Verificou-se que a rentabilidade desta estratégia funcionou bem tanto no período de formação como no período de negociação.
Palavras-chave: Pairs Trading, Cointegration Approach, Futures Market, Commodities, Statistical Arbitrage.
Classificação JEL: g11, g12, g13, q02, c58.
Cuneyt Ungever (Autor do Contato)
Universidade de Comércio de Istambul, Estudantes (email)
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Implementação de estratégias de negociação de pares.
39 Páginas Publicadas: 25 Apr 2010 Última revisão: 12 de janeiro de 2012.
Oyvind Foshaug.
Universidade de Amsterdã.
Data escrita: 22 de abril de 2010.
Neste artigo, descrevemos dois métodos previamente sugeridos para negociação motivada quantitativa em pares. Nós nos concentramos no método de cointegração e em um modelo de reversão médio não observado chamado modelo de disseminação estocástica. Os métodos são usados para implementar um procedimento de busca que visa revelar pares rentáveis entre todos os pares possíveis disponíveis nas bolsas de valores alemãs, francesas e holandesas. O usuário pretendido deste aplicativo é a mesa de negociação em Amsterdams Effektenkantoor para o qual esta investigação foi realizada. Os detalhes de implementação são encontrados em files. meetup / 1704326 / PairsTrading. ppt.
Palavras-chave: troca de pares, reversão média, implementação, filtro kalman, VAR.
Oyvind Foshaug (Autor do Contato)
Universidade de Amsterdã (email)
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Gekko Quant - Negociação Quantitativa.
Comércio Quantitativo, Arbitragem Estatística, Aprendizado de Máquinas e Opções Binárias.
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Arbitragem estatística & # 8211; Negociando um par cointegrado.
Na minha última publicação gekkoquant / 2012/12/17 / statistics-arbitrage-testing-for-cointegration-augmented-dicky-fuller / Eu demonstrou cointegração, um teste matemático para identificar pares estacionários onde a propagação por definição deve ser reversa média.
Nesta publicação, pretendo mostrar como negociar um par cointegrado e continuarei a analisar as ações Royal Dutch Shell A vs B (sabemos que eles estão cointegrados da minha última publicação). Negociar um par cointegrado é direto, sabemos a média e variância da propagação, sabemos que esses valores são constantes. O ponto de entrada para uma stat arb é simplesmente procurar um grande desvio para longe da média.
Uma estratégia básica é:
Se spread (t) & gt; = Diferença média + 2 * Desvio padrão, então vá curto Se propagação (t) & lt; = Distribuição média & # 8211; 2 * Desvio padrão, então vá Long.
Se spread (t) & gt; = nDay Moving Average + 2 * nDay Rolling Desvio padrão, então vá Curto Se spread (t) & lt; = nDay Moving Average & # 8211; 2 * nDay Rolling Desvio padrão, então vá longo.
Se spread (t) & lt; = spread médio + 2 * std AND spread (t-1) & gt; Distribuição média + 2 * Std Se propagação (t) & gt; = Distribuição média & # 8211; 2 * Std AND spread (t-1) & lt; Mean Spread & # 8211; 2 * Std Advantage é que só trocamos quando vemos a reversão média, onde, como os outros modelos esperam a reversão média em um grande desvio da média (a propagação é explodida?)
Esta publicação analisará a média móvel eo modelo de desvio padrão de rolamento para as ações Royal Dutch Shell A vs B, usará a relação de cobertura encontrada na última publicação.
Sharpe Ratio Shell A & amp; B Stat Arb Shell A.
Razão Annual Sharpe (Rf = 0%):
Shell A & amp; B Stat Arb 0.8224211.
Shell A 0.166307.
The stat arb has a Superior Sharpe ratio over simply investing in Shell A. At a first glance the sharpe ratio of 0.8 looks disappointing, however since the strategy spends most of it’s time out of the market it will have a low annualized sharpe ratio. To increase the sharpe ratio one can look at trading higher frequencies or have a portfolio pairs so that more time is spent in the market.
22 thoughts on “ Statistical Arbitrage – Trading a cointegrated pair ”
it also means that when identified the maximum divergence i can take position in derivatives like options?
-selling ATM Call option on first stock.
-buy Call option on the second one.
or with a BacKSpreadCall on the first and a BackSpreadPut on the second so I can set the protections and I can roll them if they go out control…
The short positions should be moneyness ATM or lightly OTM in my opinion.
What do yo think about?
Did you tried using Johansen’s testing approach in order to perform a more rigorous testing of cointegration? What do you think about combining Engle-Granger with Johansen?
The spread in the above does not oscillate around it mean, ideally, a cointegrated pair should trade sideways not in a trending manner as shown above….your write-up was perfect on proper cointegration you demonstrated. but this spread is not a perfect spread.
I 100% agree with you.
However for practical purposes as long as the mean reversion happens faster than the mean changes then you’ll do well.
I guess that’s something I’ve missed, how to quantify the half life/reversion speed.
Please note that in the above demo the look back period is 90days. This is fairly short. Choosing 200 days will result in a mean that is less responsive / changes direction. It will most likely increase the size of the standard deviation bands and result in less trades per year. This usually results in a lower Sharpe ratio.
Very interesting post. Would love to see the implementation on a basket of pairs.
I do some changes in your programme to calculate the bollinger bands and I wanna know why you’re put the Standard deviation to the right? (movingStd = rollapply(spread, lookback, sd, align=”right”, na. pad=TRUE))
OK thank you for answering!
Your blog give me the chance to implement and build more quickly my stat arb strategy.
I am going to test different models for statistical arbitrage. I keep all the visitors in the loop!
In your program, the martingale effect is not here. How can I add this effect?
I am running my iwn backtests with differents programs (Excel, R et ProRealTime (a french platform)) and in order to do some comparison, I need to add the martingale effect.
Obrigado pelo esclarecimento. By the same argument, rollmean has to have the same: rollmean(spread, lookback, na. pad=TRUE, align=’right’)
With this new modification the Sharpe ratio drops dramatically ..
Great stuff!! I think there are two bugs in your code, though. First one is in calculation of moving average. You forgot to set align parameter to “right” (like you do for standard deviation). Function uses default “center” and your data – spread and moving average are not aligned. You can see this from the plot as well. Moving average ends 45 days before the spread. Second bug is in calculation of trading returns. I think you should take return from the next day as we enter the position at the closing price.
Thanks for your elegant code. I noticed that your line of code:
is meant to apply the function shortPositionFunc to (-1*aboveUpperBand+belowMAvg).
However, the function shortPositionFunc takes two arguments x and y.
Is there any typo in the code?
Thank you for your clarification!
Thanks Gekko for the backtesting code. It is very useful. Couple of comments below:
1) Another reader has already commented about this above. movingAvg needs to be amended by adding align=”right” in order to have the first moving avg number on day 90:
movingAvg = rollmean(spread, lookback, align=”right”, na. pad=TRUE)
2) since we enter trades at end of day, the return on trade date shouldn’t count. we can simply shift every element in the “positions” vector down by using the “shift” function in the taRifx library.
Also, I don’t believe daily return is (aRet – stockPair$hedgeRatio*bRet). Imagine if you had a large hedge ratio, i. e. if stock A is priced at $100 and stock B is priced at $10, then the hedgeRatio would be in the neighborhood of 10. Since aRet and bRet are in % terms, the formula won’t work. Daily return should be aRet – bRet * (ratio between dollar neutral ratio vs hedge ratio).
#Calculate spread daily ret.
dailyRet <- aRet – bRet*hedgeRatioOVERdollarNeutralRatio.
tradingRet <- dailyRet * shift(positions,-1)
I am looking for new strategies in equity pair trading that improve the standard cointegration approach (for instance I started looking into the pair trading with copulas, which still seems an “unstable” alternative to cointegration). Do you have any new paper to suggest me? Thank you very much and congrats for the great blog.
The second half of the book goes through lots of more advanced techniques for hedging a portfolio / finding stationary pairs.
i am a bit confused in this step.
when i plotted the longPositions and ShortPositions along with the spread, bands and moving average lines found then there are consecutive long signals and short signals. According to my understanding.
longPostions <- if spread is below lowerband.
longExit <- if spread is above movAvg while long.
shortPostions <- if spread is above upperband.
shortExit <- if spread is below movAvg while short.
is this same thing your code is doing. Please help me understand this part.
Hi Gekko, I read the books of EP Chan that talks about this topic and I a little bit confused about mean reservion. When two assets ara cointegrated we are supposing that they will come back to their mean, but their moving average or their total mean in a fixed period? I’m giving better results using static parameters than using bollinger bands. I will show you an image with my doubt. prntscr/51jofw Could you write another article of mean reversion! Thanks for all.
Hi Gekko. Great Code. Could you closer explain an idea behind this cappedCumSum function ? I do not understand the moment when you are specifing two input variables, but in Reduce() function is only one parameter, – is it because of 0?
There is a mistake. Your algorithm looks in the future, the problem in rollmean function. Algorithm using moving average from future days to close position.
Tutoriais.
Consulte também documentação, vídeos e bate-papo.
Jing é um desenvolvedor quantitativo na QuantConnect. Ela tem um mestrado em Matemática Financeira por John Hopkins e a anterior trabalhou no Northeast Securities fazendo pesquisas quantitativas.
Artigos recentes.
Pairs Trading – Copula vs Cointegration.
In Strategy Tutorials, Published on June 13, 2017.
We investigate two pairs trading methods and compare the results. Pairs trading involves in investigating the dependence structure between two highly correlated assets. With the assumption that mean reversion will occur, long or short positions are entered in the opposite direction when there is a price divergence. Typically the asset price distribution is modeled by a Gaussian distribution of return series but the joint normal distribution may fail to catch some key features of the dependence of stock pairs' price like tail dependence. We investigate using copula theory to identify these trading opportunities.
In this tutorial, we will discuss the basic framework of copula from the mathematical perspective and explain how to apply the approach in pairs trading. The implementation of the algorithm is based on based on the paper Trading strategies with copulas [1] Stander Y, Marais D, Botha I. Trading strategies with copulas[J]. Journal of Economic and Financial Sciences, 2013, 6(1): 83-107. Online Copy from Stander Y, Marais D, Botha I(2013). We compare the performance of the copula pairs trading strategy with the co-integration pairs trading method based on the paper Statistical arbitrage trading strategies and high-frequency trading from Hanson T A, Hall J R. (2012) [2] Hanson T A, Hall J R. Statistical arbitrage trading strategies and high-frequency trading[J]. 2012. . The co-integration technique assumes a co-integration relationship between paired equities to identify profitable trading opportunities. The empirical results suggest that the copula-based strategy is more profitable than the traditional pairs trading techniques.
Framework of Copula.
1. Definition.
Given a random vector , its marginal cumulative distribution functions (CDFs) are . By applying the probability integral transform to each component, the marginal distributions of are uniform (from Wikipedia).
Then the copula of is defined as the joint cumulative distribution function of , for which the marginal distribution of each variable U is uniform as .
Copulas function contains all the dependency characteristics of the marginal distributions and will better describe the linear and non-linear relationship between variables, using probability. They allow the marginal distributions to be modeled independently from each other, and no assumption on the joint behavior of the marginals is required. [3] Rad H, Low R K Y, Faff R. The profitability of pairs trading strategies: distance, cointegration and copula methods[J]. Quantitative Finance, 2016, 16(10): 1541-1558.online copy.
2. Bivariate Copulas.
Since this research focuses on bivariate copulas (for pairs trading we have 2 random variables) some probabilistic properties are specified.
Let X and Y be two random variables with cumulative probability function and . which are uniformly distributed. Then the copula function is . Taking the partial derivative of the copula function over U and V would give the conditional distribution function as follows:
3. Archimedean Copulas.
There are many copula functions that enable us to describe dependence structures between variables, other than the Gaussian assumption. Here we will focus three of these; the Clayton , Gumbel and Frank copula formulas from the Archimedean class.
Archimedean copulas [4] Mahfoud M, Michael M. Bivariate Archimedean copulas: an application to two stock market indices[J]. BMI Paper, 2012. Online Copy are based on the Laplace transforms φ of univariate distribution functions. They are constructed by a particular generator function [5] LANDGRAF N, SCHOLTUS K, DIRIS D R B. High-Frequency copula-based pairs trading on US Goldmine Stocks[J]. 2016. .
The probability density function is:
Where is the inverse of the second derivative of the generator function.
Genest and MacKay (1986) [6] Genest, C. and MacKay, J., 1986, The Joy of Copulas: Bivariate Distributions with Uniform Marginals, The American Statistician, 40, 280-283 proved that the relation between the copula generator function and Kendall rank correlation tau in the bivariate case can be given by:
So we can easily estimate the parameter in Archimedean copulas if we know Kendall’s tau rank measure and the generator function. Please refer to step 3 to see the formulas.
Part I: Copula Method.
ETFs have many different stock sectors and asset classes which provide us a wide range of pairs trading candidates. Our data set consists of daily data of the ETFs traded on the NASDAQ or the NYSE.
We use the first 3 years of data to choose the best fitting copula and asset pair ("training formation period"). Next, we use a period of 5 years from 2011 to 2017 ("the trading period"), to execute the strategy. During the trading period we use a rolling 12 month window of data to get the copula parameters ("rolling formation period").
Step 1: Selecting the Paired Stocks.
The general method of pair selection is based on both fundamental and statistical analysis. [7] Jean Folger . Pairs Trading Example Online Copy.
1) Assemble a list of potentially related pairs.
Any random pairs could be correlated. It is possible that those variables are not causally related to each other, but because of a spurious relationship due to either coincidence or the presence of a certain third, unseen factor. Thus, it is important for us to start with a list of securities that have something in common. For this demonstration, we choose some of the most liquid ETFs traded on the Nasdaq or the NYSE. The relationship for those potentially related pairs could be due to an index, sector or asset class overlap. por exemplo. QQQ and XLK are two ETFs which track the market leading indices.
2) Filter the trading pair with statistical correlation.
To determine which stock pairs to include in the analysis, correlations between the pre-selected ETF pairs are analyzed. Below are three types of correlation measures we usually use in statistics:
= number of concordant.
= number of discordant.
= the difference between the ranks of corresponding values and.
We can get these coefficients in Python using functions from the stats library in SciPy. The correlations have been calculated using daily log stock price returns during the training formation period. We found the 3 correlation techniques give the paired ETFs the same correlation coefficient ranking. The Pearson correlation assumes that both variables should be normally distributed. Thus here we use Kendall rank as the correlation measure and choose the pairs with the highest Kendall rank correlation to implement the pairs trading.
We get the daily historical closing price of our ETFs pair by using the History function and converting the prices to a log return series. Let and denote the historical stock price series for stock x and stock y. The log returns for the ETFs pair are given by:
t = 1,2. n where n is the number of price data.
Step 2: Estimating Marginal Distributions of log-return.
In order to construct the copula, we need to transform the log-return series and to two uniformly distributed values u and v. This can be done by estimating the marginal distribution functions of and and plugging the return values into a distribution function. As we make no assumptions about the distribution of the two log-return series, here we use the empirical distribution function to approach the marginal distribution and . The Python ECDF function from the statsmodel library gives us the Empirical CDF as a step function.
Step 3: Estimating Copula Parameters.
As discussed above, we estimate the copula parameter theta by the relationship between the copula and the dependence measure Kendall’s tau, for each of the Archimedean copulas.
Step 4: Selecting the Best Fitting Copula.
Once we get the parameter estimation for the copula functions, we use the AIC criteria to select the copula that provides the best fit in algorithm initialization.
where is the log-likelihood function and k is the number of parameters, here k=1.
The density functions of each copula function are as follows:
The copula that provides the best fit is the one that corresponds to the lowest value of AIC criterion. The chosen pair is "QQQ" & "XLK".
Step 5: Generating the Trading Signals.
The copula functions include all the information about the dependence structures of two return series. According to Stander Y, Marais D, Botha I(2013) [8] Stander Y, Marais D, Botha I. Trading strategies with copulas[J]. Journal of Economic and Financial Sciences, 2013, 6(1): 83-107. Online Copy , the fitted copula is used to derive the confidence bands for the conditional marginal distribution function of and , that is the mispricing indexes. When the market observations fall outside the confidence band, it is an indication that pairs trading opportunity is available. Here we choose 95% as the upper confidence band, 5% as the lower confidence band as indicated in the paper. The confidence level was selected based on a back-test analysis in the paper that shows using 95% seems to lead to appropriate trading opportunities to be identified.
Given current returns of stock X and stock Y, we define the "mis-pricing indexes" are:
For further mathematical proof , please refer to Xie W, Wu Y(2013) [9] Xie W, Wu Y. Copula-based pairs trading strategy[C]//Asian Finance Association (AsFA) 2013 Conference. doi. 2013, 10.
The conditional probability formulas of bivariate copulas can be derived by taking partial derivatives of copula functions shown in Table 1. The results are as follows:
After selection of trading pairs and the best-fitted copulas, we take the following steps for trading. Please note we implement the Steps 1, 2, 3 and 4 on the first day of each month using the daily data for the last 12 months, which means our empirical distribution functions and copula parameters theta estimation are updated once a month. In summary each month:
During the 12 months' rolling formation period, daily close prices are used to calculate the daily log returns for the pair of ETFs and then compute Kendall's rank correlation. Estimate the marginal distribution functions of log returns of X and Y, which are ecdf_x and ecdf_y separately. Plug Kendall's tau into copula parameter estimation functions to get the value of theta. Run linear regression over the two price series. The coefficient is used to determine how many shares of stock X and Y to buy and sell. For example, if the coefficient is 2, for every X share that is bought or sold, 2 units of Y are sold or bought.
Finally during the trading period, each day we convert today's returns to u and v by using empirical distribution functions ecdf_x and ecdf_y. After that, two mispricing indexes are calculated every trading day by using the estimated copula C. The algorithm constructs short positions in X and long positions in Y on the days that and . It constructs short position in Y and long positions in X on the days that and .
Part II: Cointegration Method.
For the cointegration pairs trading method, we choose the same ETF pair "GLD" & "DGL". There is no need to choose a copula function so there is only a 12 month rolling formation period. The trading period is 5 years from January 2011 to May 2017.
Step 1: Generate the Spread Series.
At the start of each month, we generate the log price series of two ETFs with the daily close. Then the spread series is estimated using regression analysis based on log price series data.
For equities X and Y, we run linear regression over the log price series and get the coefficient β.
Step 2: Compute the Threshold.
Using the standard deviation of spread during the rolling formation period, a threshold of two standard deviations is set up for the trading strategy as indicated in the paper.
Step 3: Set up the Trading Signals.
On each trading day, we enter a trade whenever the spread moves more than two standard deviations away from its mean. In other words, we construct short positions in X and long positions in Y on the day that spread>mean+2*std. We construct short positions in Y and long positions in X on the day that spread<mean-2*std. The trade is exited if the spread reverts to its equilibrium (defined as less than half a standard deviation from zero spread).
The value of mean and standard deviation are calculated from the rolling formation period and will be updated once a month.
Conclusão.
Ultimately pairs trading intends to capture the price divergence of two correlated assets through mean reversion. Our results demonstrate that the copula approach for pairs trading is superior to the conventional cointegration method because it is based on the probability of the dependence structure, vs cointegration which relies on simple linear regression variance from normal pricing. We found through testing the performance of the copula method less sensitive to the starting parameters. Because the cointegration method relies on standard distribution and the ETF pairs had low volatility there were few trading opportunities.
Generally, ETFs are not very volatile and so mean-reversion did not provide many trading opportunities. There are only 39 trades during 5 years for cointegration method.
It is observed that the use of copula in pairs trading provides more trading opportunities as it does not require any rigid assumptions [10] Liew R Q, Wu Y. Pairs trading: A copula approach[J]. Journal of Derivatives & Hedge Funds, 2013, 19(1): 12-30. .
Backtest for copula method.
Colaboradores.
Referências.
`Hi Jing Wu. Thank you for an excellent article. I have a question, but it might be because I am misunderstanding your Python code (my background is in C#). The theory states that the log return series is given by ln(P_x, t / P_x, t-1), however in your code it seems that you are returning only ln(P_x, t), in the following line of code: np. log([float(z) for z in close_price]). Please let me know what I am missing. Obrigado.
Are you talking about the cointegration? Theoretically ln(Pt) should be used instead if log returns.
Sorry, a typo for my last reply:
Please ignore my previous comment/question, I realize the “diff” function takes care of this – Maths 101.
Hi Jing Wu, I have backtested your strategy from the period of 2010-01-01 to 2017-09-11. However, from around Sep 2012 onward, beta, net holdings and leverage seem to be constant. Is there any intuition to that? I don’t think the code is broken, but I am just curious to see what the intuition would be to cause such an outcome.
That might because there is no new trade at that time. For pairs trading that means the trading condition is not triggered.
Thank you very much for this very interesting post. It’s very helpful to have all the reasoning and formula so clearly explained and synthesized.
I have 2 remarks regarding the algo though:
+ the Gumbel fit done on the calibration set [2006 – 2009] does not work. This does not stop the algo though and the latter chooses the Frank copula in the end but it only decides using AIC for Frank and Clayton. The reason why the fit on Gumbel does not work comes from 2 divisions by 0, owing to the u or v values.
+ a post above mentions the very high beta of the algo and I agree it’s surprising for a pair strategy. This high beta is particularly stricking when simply comparing the algo results and the S&P. Local corrections of US Stocks in Q3-2015 and Q1-2016 are visible on the copula strat as if the latter was simply long equities. I took the liberty to compute the day by day net position in each component of the selected pair [i. e. XLK and QQQ]. It appears that from end 2010 until the end the algo is LONG BOTH ETFs and barely changes the position. I might be totally wrong but I think this explains the beta, the net holdings and the suddenly dropping size of trades.
Hi Jing Wu, I have backtested your strategy but I don’t seem to grasp how exactly the positions are made. According to Trade tab only small quantities of underlying assets are traded.
My reasoning is this. Suppose I have $100 000 and there’s a signal from the copulas to buy A (currently prices at $10) and short B (currently priced at $20) . Do I buy 10 000 shares of A and short 5 000 shares of B?
How long will I be in this position? Till the end of the day/next day or until another signal occurs? Obrigado.
Hi Fraty, yes here I allocate 40% capital in each stock. But the ratio of stock A and B are based on the regression coefficient of the historical price of two assets, not just the price at the trading day. The position is changed until another signal occurs.
Hello Jing, Thank you ver much for your excellent article and for presenting the method applying Copula to pair trading 🙂
Regarding the trading signals you mentioned that “we construct short positions in X and long positions in Y on the day that spread>mean+2*std. We construct short positions in Y and long positions in X on the day that spread<mean-2*std."
Since we are regressing Y on X, then if the "normalized"spread, (spread-mean)/sd, is wider than two standard deviations, this means that Y is out-performing X and hence we would want to short the spread, meaning we go short on Y (which is the outperforming stock) and Long X (which is the undersperforming stock).
Hello I am a student study pair trading, and I’m only beginner,
I wanna Run your code and understand the logic, but I can’t see.
all of your code.. if you mind ask you send to me complete code.
I’m not so good at english because I’m Korean Sorry about that !
I hope that your reply. obrigado.
The code is at the end of the page. Just click the ‘code’ tab of the attached backtest or clone the algorithm you will see the code.
Bom trabalho. Sometimes we might be interested in when and why the assumption of mean reversion holds. It would be tempting to introduce new ideas to confirm mean reversion property at trading times. Your work is amazing, hope it better.
Ótimo post. I am not a python programmer so am pulling my hair out converting this to MATLAB. But, in the following lines of code it looks to me like the order of calculating the log returns are different:
1. logreturn[self. ticker[j]] = np. diff(np. log([float(z) for z in close]))
2. return_x = np. log(float(self. price_list[self. syl[0]][-1]/self. price_list[self. syl[0]][-2]))
In (1) the log of the price is differenced but in (2) the difference is logged?
(1) and (2) are the same because log(A/B) = log(A) – log(B)
Can you please explain what the following lines do?
% Convert the two returns to uniform values u and v using the empirical distribution functions.
Presumably it is not simply: ecdf_x, ecdf_y = ECDF(x), ECDF(y)?
Why does the coupla algo only trade QQQ/XLK? I ran a backtest from 01/01/2006 and only this pair trades.
Taking the discussion to the uses of Copula in other areas (I’m an options trader)….wikipedia says: “While the application of copulas in credit has gone through popularity as well as misfortune during the global financial crisis of 2008–2009,[29] it is arguably an industry standard model for pricing CDOs. Copulas have also been applied to other asset classes as a flexible tool in analyzing multi-asset derivative products. The first such application outside credit was to use a copula to construct an implied basket volatility surface,[30] taking into account the volatility smile of basket components. Copulas have since gained popularity in pricing and risk management [31] of options on multi-assets in the presence of volatility smile/skew,” Does this mean constructing a volatility smile for say SPX options using the volatility smiles of its components? This is a problem I’ve faced numerous times as a position manager. Obrigado.
Can this copula approach to pairs trading work on a much shorter time frame….. say 3-5 minute chart where you are looking for much higher frequency of trades?
Thanks for your job and it looks nice. However, I still have a concern about the back testing result. I suppose you calculate the signal based in each day`s close price of the stocks. When there is a signal, you enter the position at the same stock price or next day`s price? If you use the same day`s close price, you may not be able to get the trade. I really appreciate you can make it clearer. Thank again for the great job.
The signal is decided by yesterday’s close but the position is entered based on the current price. The LEAN will take care of it to avoid the look forward bias.
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no podigai t. v no programa da manhã das taxas de mercado de vegetais, eles exibem o vegetal errado para pudalangai mostram peergangai e para karunaikilangu mostram senaikilangu. pelo que dá o número de telefone do nome dos formadores e o telefone celular pode ser mostrado no topo até que ele termine. Não há nenhum dano para você e útil para os antigos e aqueles que têm interesse podem contatá-los. Espero que você precise corrigir e exibir o número de telefone aqui depois. Você está aqui. T. SOMASUNDARAM, CÉLULA. 9444 925 933.
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Eu quero mudar o idioma em inglês, então me deixe saber como eu mudo o idioma em todo o email. Quando eu registrei meu e-mail na indonésia e não conheço a língua indonésia.
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Eu estava procurando uma definição de tuppence, a moeda britânica. Recebi um resultado que mencionava os soldados das mulheres. Eu não queria ver esses resultados - certamente não por padrão. Seria preferível, ao pesquisar definições e similares, que os resultados mais gerais (ou seja, não gíria, não slur, inofensivos) sejam mostrados por padrão, e outros apenas se assim desejarem pelo usuário.
Olá Yahoos, 1. Possuo um resumo técnico. 2. Quando eu faço uma pesquisa do Yahoo para o "currículo técnico" e o quot; sem o quot.
2. Quando eu faço uma pesquisa do Yahoo para "resumo de escritor técnico" sem as notas de cotação, há muitos retornos inapropriados, como exemplos, amostras, solicitações de currículos e modelos, etc. E meu site não pode ser encontrado mesmo quando eu definir o resulta em 100!
Dê-me outra oportunidade e eu as listarei para lembrar.
gostaria de votar mais tarde.
Tire seu motor de busca padrão ******** fora do meu site de e-mail.
Eu acho que o título é auto-explicativo.
A interface fede.
O tempo de resposta do Yahoo é terrível. Foi minha página inicial desde que a Internet foi inventada (dias do Netscape Navigator). Vocês têm que melhorar o tempo de resposta. Reduza os vídeos estúpidos e anúncios idiotas. Eu estou cansado disso.
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